マラドーナはミニマックスをプレーしていた

というLSEのIgnacio Palacios-Huertaの論文（原題は「Maradona Plays Minimax」）をタイラー・コーエンが紹介している。
以下は論文本文からの引用。

Consider the simplest version of a penalty kick: a 2 × 2 model of players' actions where m = {L, R} denotes the kicker's choice, g = {L, R} the goalkeeper's choice, with L = left, R = right, and where π_mg denotes the kicker's probabilities of scoring:

m/g	L	R
L	πLL	πLR
R	πRL	πRR

The kicker wishes to maximize the probability of scoring, while the goalkeeper wishes to minimize it. This game has a unique Nash equilibrium when π_LR > π_LL < π_RL and π_RL > π_RR < π_LR. Equilibrium play requires each player to use a mixed strategy, and yields two sharp testable predictions about the behavior of the kicker and the goalkeeper:
1. Success probabilities -- the probability that a goal will be scored (not scored) for the kicker (goalkeeper) -- should be the same across strategies for each player;
2. When the game (penalty kick) is played several times, each player's choices must be serially independent. That is, players must be concerned only with instantaneous payoffs and intertemporal links between penalty kicks must be absent. Hence, players' choices must be independent draws from a random process; therefore, they should not depend on one's own previous play, on the opponent's previous play, on their interaction, or on any other previous actions.
（拙訳）
ペナルティキックの最も単純なバージョンを考えてみよう。選手の行動の2 × 2モデルで、L = 左、R = 右として、m = {L, R}はキッカーの選択、g = {L, R}はゴールキーパーの選択を表し、π_mgはキッカーの得点確率を表すものとする。

m/g	L	R
L	πLL	πLR
R	πRL	πRR

キッカーは得点確率を最大化しようとし、ゴールキーパーはそれを最小化しようとする。このゲームはπ_LR > π_LL < π_RLかつπ_RL > π_RR < π_LRの時にユニークなナッシュ均衡を持つ。均衡プレーでは各選手が混合戦略を用いることが要求され、キッカーとゴールキーパーの行動について2つの明確な検証可能な予測を生じる。

1. 成功確率――キッカー（ゴールキーパー）がゴールを決める（守る）確率――は、各選手の戦略によらず同じである。
2. ゲーム（ペナルティキック）が数回行われる場合、各選手の選択には系列相関があってはならない。即ち、選手は一回ごとのペイオフのみに関心を持ち、ペナルティキックの異時点間の関係は存在してはならない。従って、選手の選択はランダムプロセスから独立に抽出したものとなるべきである。そのため、その選択は、自分の過去のプレーや、相手の過去のプレー、およびそれらの相互作用、あるいは他のいかなる過去の行動にも依存してはならない。

マラドーナは1976-1997年の21年間のプロ生活において109のペナルティキックを蹴り、90の得点を挙げたという（成功確率＝82.56％）。そのうちPalacios-Huertaが映像を取得できたのは94で、得点は80だったとの由（成功確率＝85.1％）。
マラドーナの利き足は左だったので、左に蹴るのがマラドーナにとっての「自然な」戦略となる*1。
m_Lをマラドーナがゴールキーパーの左に蹴った確率、g_Lをゴールキーパーが左に飛んだ確率とすると、観測された得点確率は以下の通りだったという。

	gL	1-gL
mL	70.58	91.42
1-mL	96.15	68.75

ここから導出される混合戦略ナッシュ均衡の予測頻度と、実際のマラドーナのペナルティキックの混合確率は以下の通りだったという*2。

	mL	1-mL	gL	1-gL
ナッシュ予測頻度	56.80%	43.19%	47.00%	52.99%
マラドーナとゴールキーパーの実際の頻度	55.31%	44.68%	45.74%	54.25%

即ち、両者ともにナッシュ予測から1.5%ポイント以内の頻度を選択したとの由。

この後論文では上記の１と２の検証を行っているが、いずれも当該の帰無仮説は棄却されなかったという結果を報告している。

*1:中央に蹴ったのが4回あったが、プロの選手は体の動きや助走の関係から中央に蹴ることを利き足方向に蹴るのと同様に自然と見做しているので、ここではそれもそちらに含めたとの由。

*2:g_Lの予測値は、左に蹴った時の期待得点EM_L＝70.58g_L＋91.42(1-g_L)と右に蹴った時の期待得点EM_R＝96.15g_L＋68.75(1-g_L)の連立解。m_Lの予測値は、左に飛んだ時の期待得点EGK_L＝70.58m_L＋96.15(1-m_L)と右に飛んだ時の期待得点EGK_R＝91.42m_L＋68.75(1-m_L)の連立解（論文ではそれぞれについてグラフを示している）。

致死的な差別：職場の安全にとって「消失女人」が持つ意味

というNBER論文が上がっている。原題は「Deadly Discrimination: Implications of "Missing Girls" for Workplace Safety」で、著者はZhibo Tan,（IMF）、Shang-Jin Wei（コロンビア大）、Xiaobo Zhang（北京大）。
以下はその要旨。

We examine an indirect but potentially deadly consequence of the “missing girls” phenomenon. A shortage of brides causes many parents with sons of marriageable age to work harder and seek higher-paying but potentially dangerous jobs. In response, employers invest less in workplace safety, which in turn increases work-related mortality. Drawing from a broad range of data sets and taking advantage of large regional and temporal variations in sex ratios in China, we demonstrate that in areas with a more severe shortage of young women, the parents with unmarried sons suffer a significantly higher incidence of accidental injuries and workplace deaths.
（拙訳）
我々は「女性の消失」現象の間接的だが潜在的に致死的な帰結を調査した。花嫁の不足のため、適齢期の息子を持つ親の多くは、もっと熱心に働き、潜在的に危険だが高給の職を求めるようになる。それに対応して、雇用者は職場の安全への投資を減らし、その結果、職場関連の死亡率が上昇する。広範なデータセットを用い、中国の男女比率の地域ごとおよび時系列の大きな変動を利用して、若い女性の不足が深刻な地域ほど、未婚の息子を持つ親が、事故での怪我と職場での死を有意に多く経験することを我々は示す。

パンデミック時の政策介入は技術的解決と組み合わせてこそ意味がある

という主旨のNBER論文「Behavior and the Dynamics of Epidemics」をUCLAのAndrew Atkesonが上げている*1。以下はその要旨。

I use a model of private and public behavior to mitigate disease transmission during the COVID pandemic over the past year in the United States to address two questions: What dynamics of infections and deaths should we expect to see from a pandemic? What are our options for mitigating the impact of a pandemic on public health? I find that behavior turns what would be a short and extremely sharp epidemic into a long, drawn out one. Absent the development of a technological solution such as vaccines or life-saving therapeutics, additional public health interventions suffer from rapidly diminishing returns in improving long-run outcomes. In contrast, rapidly implemented non-pharmaceutical interventions, in combination with the rapid development of technological solutions, could have saved nearly 300,000 lives relative to what is now projected to occur.
（拙訳）
私は過去1年の米国のコロナ禍において感染を減らそうとする官民の行動のモデルを用い、２つの問題に取り組んだ。コロナ禍において感染と死亡がどのように推移すると我々は予想すべきか？　コロナ禍の公衆衛生への影響を減らすための我々の選択肢は何か？　短期的で非常に急激な疫病が、行動によって長期に引き伸ばされたものになることを私は見い出した。ワクチンや救命治療法のような技術的解決策の開発抜きには、追加的な公衆衛生への政策措置は、長期的な事態改善について急速な収穫逓減に見舞われることになる。一方、急速な技術的解決策と組み合わされて速やかに導入される非医薬的措置は、今後の予想経路に比べて30万近くの人命を救う可能性がある。

本文では、行動変容によって感染ならびに死者数のピークを減らし、「カーブをフラット化」しても、技術的解決抜きには最終的な総死者数は大して変わらず、125万人近くになる、と指摘している。その場合、60万という現在の死者数はまだ道半ば、ということになる。ただ、今回のワクチン開発成功という技術的解決を織り込むと、長期的な総死者数は60万と半減する（＝現時点の総死者数とほぼ同じになる）。さらに、もし連邦政府がもっと早く適切な非医薬的措置を打っていたと仮定すると、長期的な総死者数は30万と予測される。即ち、過去14か月間の政策の不手際により、数十万の人命が失われた、とAtkesonは主張している。

*1:このAtkesonのモデルは、奇しくも前々回エントリで紹介した研究（および同エントリのコメントで教えてもらった渡辺努先生の研究）の理論面からの裏付けになっているように思われる。

デット・オーバーハングは金融危機での家計の支出削減をもたらしてはいない

と主張したNBER論文をスヴェンソンが2週連続で上げている。1週目の「Household Debt Overhang Did Hardly Cause a Larger Spending Fall during the Financial Crisis in Australia」はオーストラリアについての分析で、2週目の「Household Debt Overhang Did Hardly Cause a Larger Spending Fall during the Financial Crisis in the UK」は英国についての分析。本人のブログエントリ（ungated版へのリンクも張られている）はこちらとこちら。

英国版はタイトルも要旨も豪州版を使い回しているが、要旨については少し加筆されている。

The “debt-overhang hypothesis” – that households cut back more on their spending in a crisis when they have higher levels of outstanding mortgage debt (Dynan, 2012) – seems to be taken for granted by macroprudential authorities in several countries in their policy decisions, as well as by the international organizations that evaluate and comment on countries’ macroprudential policy. Results are presented for UK microdata that reject the debt-overhang hypothesis. The results instead support the “spending-normalization hypothesis” of Andersen, Duus, and Jensen (2016a), what can also be called the “debt-financed overspending” hypothesis – that the correlation between high pre-crisis household indebtedness and subsequent spending cuts during the crisis reflects high debt-financed spending pre-crisis and a return to normal spending during the crisis. As discussed in Svensson (2019, 2020), this is consistent with the correlation reflecting debt-financed overspending through what Muellbauer (2012) calls the “housing-collateral household demand” and Mian and Sufi (2018) the “debt-driven household demand” channel. The correlation is thus spurious and an example of omitted-variable bias. A simple model shows that consumption and debt changes are directly and strongly positively correlated, whereas consumption and debt levels are quite weakly negatively correlated. Importantly, and in contrast, examples show that there is no systematic relation between consumption cuts and levels of or changes in LTV ratios. The lack of a robust relation between consumption cuts and levels of or changes in LTV ratios implies that tests of these hypotheses should generally not be done by regressions of consumption cuts on levels of or changes in LTV ratios.
（拙訳）
高水準の不動産ローンを抱えている家計は危機時に支出をより削減するという「デット・オーバーハング仮説」（ディナン（2012））は、いくつかの国のマクロプルーデンシャル当局の政策判断、および、各国のマクロプルーデンシャル幕政策を評価しコメントする国際機関で当然視されているように思われる。ここでは、英国のミクロデータについてデット・オーバーハング仮説を棄却する結果を提示する。代わりにその結果は、「債務で賄われた過剰支出」仮説とも呼べるアンダーセン＝デュース＝ジェンセン（2016a*1）の「支出正常化仮説」を支持する。それは、危機前の家計の高水準の債務と、その後の危機時の支出削減との相関は、危機前の高水準の債務で賄われた支出、および、危機時の通常支出への復帰を反映したもの、という仮説である。スヴェンソン（2019、2020）で論じたように、これは、ミューエルバウアー（2012）が「住宅担保家計需要」、ミアン＝スフィ（2018）が「債務駆動家計需要」と呼んだ経路を通じた、債務で賄われた過剰支出を反映した相関と整合的である。従ってこれは疑似相関であり、除外変数バイアスの一例となっている。単純なモデルにより、消費と債務の変化は直接的かつ強い正の相関関係にある半面、消費と債務の水準は非常に弱い負の相関関係にあることが示される。重要かつ対照的なことに、消費の削減とLTV比率の水準や変化との間に体系的な相関が存在しないことが事例で示される。消費の削減とLTV比率の水準や変化との間に頑健な関係が存在しないことは、そうした仮説の検証を一般に、消費の削減をLTV比率の水準や変化に回帰することで行うべきではないことを意味している。

ちなみに豪州版はこちら。

The “debt-overhang hypothesis” – that households cut back more on their spending in a crisis when they have higher levels of outstanding mortgage debt (Dynan, 2012) – seems to be taken for granted by macroprudential authorities in several countries in their policy decisions, as well as by the international organizations that evaluate and comment on countries’ macroprudential policy. New results for Australian microdata are presented that reject the debt-overhang hypothesis. The results instead support the “spending-normalization hypothesis” of Andersen, Duus, and Jensen (2016), what can also be called the “debt-financed overspending” hypothesis – that the correlation between high pre-crisis household indebtedness and subsequent spending falls during the crisis reflects high debt-financed spending pre-crisis and a return to normal spending during the crisis. As discussed in Svensson (2019, 2020), this is consistent with the above correlation reflecting debt-financed overspending through what Muellbauer (2012) calls the “housing-collateral household demand” channel and Mian and Sufi (2018) the “debt-driven household demand” channel.
（拙訳）
高水準の不動産ローンを抱えている家計は危機時に支出をより削減するという「デット・オーバーハング仮説」（ディナン（2012））は、いくつかの国のマクロプルーデンシャル当局の政策判断、および、各国のマクロプルーデンシャル幕政策を評価しコメントする国際機関で当然視されているように思われる。ここでは、オーストラリアのミクロデータについてデット・オーバーハング仮説を棄却する新たな結果を提示する。代わりにその結果は、「債務で賄われた過剰支出」仮説とも呼べるアンダーセン＝デュース＝ジェンセン（2016a）の「支出正常化仮説」を支持する。それは、危機前の家計の高水準の債務と、その後の危機時の支出低下との相関は、危機前の高水準の債務で賄われた支出、および、危機時の通常支出への復帰を反映したもの、という仮説である。スヴェンソン（2019、2020）で論じたように、これは、上記の相関が、ミューエルバウアー（2012）が「住宅担保家計需要」、ミアン＝スフィ（2018）が「債務駆動家計需要」と呼んだ経路を通じた、債務で賄われた過剰支出を反映していることと整合的である。

*1:cf. WP。

大規模ワクチン接種中の州全体の活動再開：移動、公衆衛生、および経済活動に関するテキサスの実証結果

COVID-19に関する実証研究を精力的に行っているDave＝Sabia*1が、今度はワクチン接種下の再開政策の影響を調べた表題のNBER論文を上げている。原題は「Statewide Reopening During Mass Vaccination: Evidence on Mobility, Public Health and Economic Activity from Texas」で、著者はDhaval M. Dave（ベントレー大）、Joseph J. Sabia（サンディエゴ州立大）、Samuel Safford（同）。
以下はその要旨。

During the first four months of 2021, the United States distributed approximately 250 million doses of COVID-19 vaccinations, which resulted in the complete vaccination of nearly 45 percent of the adult population. In the midst of this mass vaccination effort, Texas became the first state to abolish its statewide mask mandate and fully lift capacity constraints for all businesses. Governor Greg Abbott’s order was met with (i) concern by public health officials that an early reopening would lead to a resurgence of COVID-19, and (ii) assertions by Texas politicians that a reopening would generate short-run employment growth. This study provides the first empirical evidence on these claims. First, using daily anonymized smartphone data on social mobility from SafeGraph, Inc. — and synthetic control and difference-in-differences approaches — we find no evidence that the Texas reopening led to substantial changes in social mobility, including foot traffic at a wide set of business establishments in Texas. Second, using daily data on new COVID-19 cases from the New York Times, we find no evidence that the Texas reopening affected the rate of new COVID-19 cases during the five weeks following the reopening. Our null results persist across more urbanized and less urbanized counties, as well as across counties that supported Donald Trump and Joe Biden in the 2020 presidential election. Finally, we find no evidence that the Texas reopening order impacted short-run employment. Together, our null findings underscore the limits of late-pandemic era COVID-19 reopening policies to alter private behavior.
（拙訳）
2021年の最初の４か月で、米国はCOVID-19のワクチンをおよそ2億5000万本配布し、その結果、成人人口の45%近くが完全なワクチン接種を行った。この大規模なワクチン接種が行われている最中、テキサスは、州全体のマスク着用義務を廃止し、すべてのビジネスの稼働制限を完全に撤廃した最初の州となった。グレッグ・アボット知事の指示は、(i)早期の活動再開はCOVID-19の再発を招くのではないかという公衆衛生担当者の懸念、および、(ii)活動再開は短期の雇用の増加をもたらすというテキサスの政治家の主張、で迎えられた。本研究は、これらの主張に関する初の実証結果を提供する。まず、セーフグラフ社の匿名化されたスマートフォンの社会的移動データ、および、合成コントロール手法ならびに差の差手法を用いたところ、テキサスの活動再開が、テキサスの各種事業所における徒歩交通を含めた社会の移動に有意な変化をもたらしたという証拠は見い出されなかった。次に、ニューヨークタイムズのCOVID-19新規症例の日次データを用いたところ、テキサスの活動再開が再開後5週間のCOVID-19の新規症例の発生率に影響したという証拠は見い出されなかった。我々の否定的な結果は、都会化された郡とそれほど都会化されていない郡、2020年の大統領選でドナルド・トランプを支持した郡とジョー・バイデンを支持した郡のいずれでも同様であった。また、テキサスの活動再開指示が短期の雇用に影響したという証拠も見い出されなかった。以上の否定的な結果は、パンデミック後期におけるCOVID-19活動再開政策が民間の行動を変えることの限界を強く示している。

*1:cf. 本ブログでの該当エントリ。

クレジット・ホライゾン

というNBER論文を清滝＝ムーアらが上げている（ungated版）。論文の原題は「Credit Horizons」で、著者はNobuhiro Kiyotaki（プリンストン大）、John Moore（エジンバラ大）、Shengxing Zhang（LSE）。
以下はその要旨。

Entrepreneurs appear to borrow largely against their near-term revenues, even when their investment has a longer horizon. In this paper, we develop a model of credit horizons. A question of particular concern to us is whether persistently low interest rates can stifle economic activity. With this in mind, our model is of a small open economy where the world interest rate is taken to be exogenous. We show that a permanent fall in the interest rate can reduce aggregate investment and growth, and even lead to a drop in the welfare of everyone in the domestic economy. We use our framework to examine how credit horizons interact with plant dynamics and the evolution of productivity. Finally, we speculate that the measurement of total investment may camouflage the true level of productive investment in plant and human capital, and give too rosy a picture of property-fuelled booms sparked by low interest rates.
（拙訳）
起業家たちは、自分の投資の時間範囲がより長期に亘る場合でも、概ね近い将来の収入を担保に借り入れを行うように思われる。本稿で我々は信用の時間範囲のモデルを開発した。我々にとって特に関心があるのは、持続的な低金利が経済活動を窒息させ得るか、ということである。これを念頭に置いて、我々のモデルは世界金利が外生的となる小規模開放経済を扱った。我々は、金利の恒久的な低下がマクロの投資と成長を減じせしめ、国内経済の全員の厚生を低下させるにまで至ることがあることを示す。我々はこの枠組みを用いて、信用の時間範囲が工場の動学ならびに生産性の推移とどのように相互作用するかを調べた。また我々は、総投資を計測することが工場や人的資本への生産的な投資の真の水準を分からなくしてしまい、低金利がもたらした、資産によって駆動される景気についてあまりにも楽観的な構図を描いてしまうかもしれない、と推測した。

ungated版の本文によると、上記のメカニズムは概ね以下の通り：
工場は年数が経過するに連れメンテナンスコストが増大するので、収入のうち、メンテナンスする人（＝起業した技術者）の取り分が増える一方、工場建設に融資する人の取り分は減る。そのため融資者は、建設から間もない短期における収入を担保にせざるを得ない。ただ、固定費は長期に亘って継続的に発生し、それは融資者が負担する。金利が下がると負担する固定費の現在価値が上がり、その増分は短期的な収入の取り分の増分を上回るので、融資のインセンティブは下がる。そのため起業家の借入枠は低下し、投資の一つの重要指標である純資産頭金比率において、分子（純資産）の増加以上に分母（頭金(required downpayment)＝投資額－借入額）が上昇する。マクロ経済学ではともすれば金利低下による純資産の増加に目を奪われがちだが、このメカニズムによって低金利は投資にはむしろマイナスに働く。
また総投資額は建物を含むため、低金利は建物の価格を押し上げることにより総投資額を膨らませる。起業家は工場の建物を部分的にでも融資者に売却して資金を手当てできるかもしれない。しかし、建物を除いた融資額は投資額ほどに増えず、工場や人的資本への実質的な融資額は低金利によってむしろ低下する。これが80年代の日本や00年代の南欧で起きたことと考えられる。

財政赤字ギャンブルの得失

前回エントリで取り上げたマンキューらの財政赤字ギャンブル理論は、その後の経済学の展開を踏まえた現在の観点からすると、以下の2点で考慮不足があるように思われる。

• 増税によって成長率が下がり、債務GDP比率が想定ほど改善しない、ないし、むしろ悪化する可能性を考慮していない。
• 破綻について、債務GDP比率がある閾値に到達して破綻、と定義しているが、その際に具体的にどの程度の損失が生じるかを定量的に検討していない。従って、その損失と財政赤字計上による利得との比較考量にまで考慮が及んでいない。

前者について本ブログではデロング＝サマーズ理論を基に既に何度か考察しているので（ここ、ここ、ここ、ここ）、ここでは後者について簡単な計算例を考えてみる。

今後の財政赤字を毎年d_tだけ増やした場合、乗数を1とすれば、今後N年間にΣ_t=1..Nd_tだけGDPが増えることになる。一方、財政赤字を増やした結果、N年後の破綻確率がpだけ上昇したとする。その場合、破綻による損失がΣ_t=1..Nd_t/pを下回るならば、破綻が生じたとしても、利得が損失を下回り、財政赤字を計上した方がトータルの厚生が向上することになる*1。

2011/7/16エントリで参照した、マンキューらの研究を日本に応用した論文によると、基礎的財政赤字がGDPの3%の場合、2%の場合に比べて25年後の破綻確率がおよそ10%上昇する。その数字を基に、GDPをY_tとして、N=25、d_t=0.01Y_t、p=0.2としてみると*2、1.25Yという数字が弾き出される（Yは25年間の平均GDP）。即ち、25年後の破綻時の損失増分が、25年間の平均GDPの1.25倍にならなければ、財政赤字を拡大した方が得、という計算になる。Wikipediaで引用されているRicardo LagosとRandall Wrightの研究*3によれば、10%のインフレの厚生費用はGDPの3～4%とのことなので、破綻の費用がインフレで賄われる場合、10%のインフレが10年続いたとしても充分に割に合うことになる。

ただしその場合、財政赤字の恩恵を受ける世代と、破綻の損失を被る世代が異なる、という指摘があり得るだろう。だが、財政赤字が完全にその世代の消費に終始するならともかく、人的資本や公共資本への投資に回るならば、後続の世代もその恩恵を受けることになる。21世紀に入ってから公的インフラや大学への歳出を絞った結果、国の凋落が進み、現在および将来の若い世代がそのツケを払うことになった、という日本の苦い経験に照らせば、財政赤字の恩恵は現世代、そのギャンブルのツケを支払うのは将来世代、というのはあまりにも単純な見方のように思われる。

*1:ここでは簡単のため時間割引率を1とした。

*2:損失への忌避があるため利得が損失よりも大きくないと割が合わない、というリスク回避度も考慮し、pは大きめに設定した。

*3:cf. ここ。