昨日のエントリに対し、unagiameさんから
この手の問題はプロスペクト理論で説明できるということでいいような気がするのですが、どうなのでしょうか。
というコメントを頂いた。
ゲルマンの9/11エントリのコメント欄でのやり取りではその辺りも論じられているので、以下ではそれを紹介してみる。
まず、プロスペクト理論について考えてみたか、という以下のコメントに対し
Also, have you considered prospect theory (i.e. Kahneman and Tversky)? It's not taught in Econ 101, it's not grounded in rational preferences, but it still risk averse behaviour to a concave value function (in gains).
（拙訳）
ちなみに、（カーネマンとトベルスキーの）プロスペクト理論については考慮されただろうか？ この理論は経済学の基礎コースでは教えられておらず、また、合理的な選好に基づいてもいないが、やはり（利得について）リスク回避行動による凹型の価値関数になっている。
ゲルマンは次のように答えている。
Yes, I think prospect theory is great. It's not perfect, but I think that, as a default model of uncertainty/loss/risk aversion, it's much better than the curving utility model that is unfortunately the standard.
（拙訳）
イエス、プロスペクト理論は素晴らしい理論だと思う。完全な理論ではないが、曖昧さ／損失／リスク回避の標準的なモデルとしては、逓減的な効用関数のモデル――不幸なことに今はそれが標準になっているが――よりもずっと相応しいと思う。
また、プロスペクト理論に否定的な次のコメントに対しては
Prospect theory is awful - there is absolutely no rationale for weights on probabilities, and the underlying experiments which gave rise to it had more to do with failures of invariance.
（拙訳）
プロスペクト理論はひどいものだ。確率に付与されるウェイトには合理的根拠がまったく無いし、理論構築の元となった実験は、不変性の失敗との関連の方が深い。
以下のように応じている。
Classical utility theory is a special case of prospect theory in which certain parameters are exactly zero. My impression is that, as a descriptive theory, you'll do better to allow these parameters to differ from zero. As a normative theory, though, prospect theory isn't so great. But that's partly the point--that to describe actual decisions, it can useful to apply a theory that does not give good normative recommendations.
（拙訳）
古典的な効用理論はプロスペクト理論の特別なケースであり、プロスペクト理論における幾つかの変数をゼロと置いたものだ。記述的理論としては、そうした変数はゼロと違う値を取れるようにした方が良い、と私は感じている。一方、規範的理論という点では、プロスペクト理論はそれほど優れたものではない。しかし、ある意味において、それこそが特長なのだ。実際の意思決定を記述するためには、出てくる推奨結果の規範性という意味ではそれほど良くない理論を適用することが有用な場合がある。
さらに、別のコメンターへの応答コメントでゲルマンは、規範的理論としての効用理論について以下のように論じている。
As I wrote in one of the above comments, I think utility theory is a wonderful normative theory and perhaps, in some settings, a useful descriptive theory. The problem is when a theorist's first reaction, when seeing a behavior, is to model it with a utility function. Sometimes this is reasonable, sometimes it's not.
As many textbook writers have explained over the years, the normative point of utility theory is not, "You should act so as to maximize your expected utility" but rather "You should act in a way consistent with the rationality axioms, thus acting as if you have a utility function that you are maximizing." The mistake comes when people stretch the theory to beyond its descriptive limit and say that everyone actually is acting in that way.
In some cases, you can take a behavior that apparently violates the rationality axioms and, by a judicious construction of a utility function, place that behavior within the expected-utility framework. And that can be helpful in quantifying tradeoffs. We have an example in chapter 22 of Bayesian Data Analysis of a decision problem involving a balance between dollars and lives, and I think utility theory was helpful for us in understanding the problem and giving decision recommendations.
But in other cases, such as the example given in my teaching article, utility theory simply not fit, and it's an example of modeling where the epicycles become more prominent than the actual orbits whose modeling they are brought in to fix. Even in these settings, expected utility, when reasonably interpreted, can be a useful normative model, though. The challenge is in identifying which aspects of the behavior are furthering the actor's goals and which actions are getting in the way, and formulating the utility model and decision recommendations appropriately. This sort of model won't work if too loose (tautologically defining all actions and preferences as rational) and it also won't work if it's too loose (for example, if the utility function for money is restricted to be linear). The challenge is to find the right balance for the particular problem under study.（拙訳）
上のコメントの一つ*1に書いたように、私は効用関数は優れた規範的理論だと思うし、おそらく一定の条件下では有用な記述的理論だとも思う。問題は、ある行動を見た時に、理論家たちが脊髄反射的に効用関数を用いてモデル化しようとすることにある。それが合理的な場合もあるだろうが、そうでない場合もある。
長年に亘って数多くの教科書で説明されてきたように、効用関数の規範性のポイントは「期待効用を最大化するように行動すべし」ということにあるのではなく、「合理性の公準と矛盾しないように行動すべし、さすれば恰も何らかの効用関数を持っていて、それを最大化しているかのように行動することになるだろう」ということにある。間違いが起こるのは、理論を記述的な限界を超えて拡大解釈し、誰もが実際にそのように行動している、と言い始めた時である。
合理性の公準と明白に矛盾している行動を取り上げ、賢く構築された効用関数を用いてその行動を期待効用の枠組みに当てはめることができる場合もあろう。そのことは、トレードオフを定量化するに当たって役に立つだろう。「Bayesian Data Analysis」の22章では、お金と命のバランスに関する意思決定問題という例を載せた。そこでの効用関数は、問題を理解し、決定の推奨を得るに当たって有用だったと思う。
しかし、教材記事に書いた例を始めとするケースでは、効用関数はまるで適用できない。それは、実際の軌道をモデル化しようとした挙句、パッチ的に適用した周転円の方がメインになってしまうようなモデルの典型例だ。だが、そうした状況においても、正しく解釈されれば、期待効用は有用な規範的モデルとなり得る。その際に課題となるのが、主体の目的達成に役立っている行動と、むしろ邪魔になっている行動とを見極め、効用関数と意思決定の推奨を適切に組み立てることだ。そうしたモデルはあまりいい加減（すべての行動と選好が合理的であると同義反復的に定義するなど）でも機能しないし、あまりガチガチ*2（貨幣についての効用関数を線形関数に限定してしまうなど）にしてしまっても機能しない。研究対象としている問題について正しいバランスを見つけることが課題となる。
小生がゲルマンに提案した逓減的なpは、効用関数に規範的なモデルとしての役割を回復させるためのもの、というつもりだったが、ゲルマンにしてみれば、それは「周転円」だ、ということになるのだろう。だが一方で、ゲルマンの「translation invariance」へのこだわり*3が、モデルをガチガチにして効用関数を機能しなくさせている、という気がしなくもない。
*1:「I recall that when faced with real monetary gains/losses that the model does "much better" and that experimental evidence such as what was conducted in your class might be biased.」というコメントに対し「I think that in some situations with real monetary gains and losses, people's decisions are fit reasonably well by the utility model; in other such situations, not so much. The model is useful in some settings; my problem is with people who view it as foundational (in a descriptive sense).」と応じたコメントを指しているものと思われる。
*2:原文ではここも「too loose」となっていたが、「too strict」の誤記と解釈した。
*3:最後に引用したコメントの冒頭でも、貨幣の限界効用逓減を認めつつも、その逓減の程度は小額のギャンブルでの不確実性回避を説明するにはあまりにも小さすぎる、と自説を堅持している（注：逆に、小額のギャンブルでの不確実性回避を延長すると、現実的でないほど限界効用逓減が大きくなる、というのが昨日のエントリで紹介した1998年論文――上のコメントではteaching articleとして言及されている――の話）。
