というNBER論文（原題は「Additive Growth」）をNYUのThomas Philipponが上げている。以下はungated版の結論部。
TFP growth is not exponential. New ideas add to our stock of knowledge; they do not multiply it. TFP has been growing linearly over the past 90 years in the US and the additive model beats the exponential model for every single country, developed or catching up, where TFP data is available. The TFP frontier appears to grow linearly within broad historical periods: 1650 to 1830, 1830 to 1930, and 1930 until today. Additive TFP growth predicts increasing growth of labor productivity and GDP per capita thanks to capital accumulation. This prediction also appears to be empirically accurate.
The evidence of additive growth speaks to the appropriate functional form for the innovation technology in models of endogenous growth. These models predict long term growth but do not predict that it is exponential. Models of quality ladders (Aghion and Howitt, 1992) assume an exponential ladder where the size of the next increment is proportional to the current level of quality. If we assume a linear ladder instead we obtain linear growth. The same is true with models of expanding varieties.
The additive growth model explains the observed TFP slowdown as a simple side effect of model misspecification. We should not have expected growth rates to be constant in the first place. The additive model does not necessarily solve the research productivity puzzle of Bloom et al. (2017) since this puzzle is not about the stochastic process for TFP but rather about the specification of the production function for ideas. Models where ideas are non-rival often imply a tight connection between growth and the quantity of research. These models predict accelerating growth – whether of the linear kind or not – from an increasing number of researchers.
Additive growth has implications for industry dynamics and structural transformation as in Baumol (1967), and for firms dynamics as in Luttmer (2007) and Gabaix (2011). Philippon (2022) provides some early evidence on these issues. Additive growth may also have important implications for investment and for the valuation of long term assets, such as stocks or pensions. The model predicts falling growth rates and falling interest rates so valuation and investment dynamics will depend on preferences.
（拙訳）
TFPの伸びは指数関数的ではない。新たなアイディアは我々の知識のストックに付け加わるのであって、乗数になるのではない。TFPは米国で過去90年以上線形で伸びており、TFPデータが利用可能な国では、先進国か発展途上国かを問わず、すべての国で加法モデルが指数モデルに勝っている。TFPのフロンティアは、1650年から1830年、1830年から1930年、および1930年から今日、という過去の多くの期間において、線形で伸びたように見える。加法TFP成長は、資本蓄積による労働生産性と一人当たりGDPの逓増的な成長を予測する。この予測は実証的にも正確であるように見える。
加法成長の結果からは、内生的成長モデルにおけるイノベーション技術の適切な関数形も得られる。こうしたモデルは長期成長を予測するが、それが指数関数的であるとは予測しない。質的梯子のモデル（アギオン＝ホーウィット、1992*1）は、次の増分が現在の質的水準に比例する指数関数的な梯子を仮定する。もし代わりに線形の梯子を仮定すると、線形の成長が得られる。多様性拡張モデル*2についても同様のことが言える。
加法成長モデルは、観測されたTFPの鈍化を、モデルの仕様誤りの単なる副作用として説明する。我々は成長率が一定であるとそもそも期待すべきではなかったのである。加法モデルはブルームら（2017*3）の研究生産性パズルを必ずしも解決しない。それは、このパズルはTFPの確率過程に関するものではなく、アイディアの生産関数の仕様に関するものだからである。アイディアが非競合的であるモデルは、成長と研究の量との間の密接な関係を含意するものが多い。そうしたモデルでは、研究者数の増加から、線形か否かはともかくとして加速的な成長を予測する。
加法成長は、ボーモル（1967*4）のように産業の動学と構造転換について、ルトマー（2007*5）とガヴェ（2011*6）のように企業の動学について意味合いを持つ。フィリッポン（2022*7）はこうした問題について幾つかの初期的な実証結果を提供している。加法成長はまた、投資と株式や年金のような長期資産の評価についても重要な含意を有しているであろう。モデルは成長率の低下と金利の低下を予測しているため、評価と投資の動学は嗜好に左右されることになる。
式で言えば、AをTFP、gを成長率として従来はdAt = gAtdtを仮定していたが、実際はbを定数としてdAt = bdtに近い推移になっている、とのことである。
より正式な表現では、コブ＝ダグラス関数
Yt = AtKtα Lt1−α (1)
において
E [At+τ | At] = At (1 + g)τ (2)
とする（著者言うところの）モデルGではなく、
E [At+τ | At] = At + bτ (3)
というモデルDが実際に近い、とのことである（式番号は論文のもの）。
タイラー・コーエンは、この論文は興味深い、としつつも、以下の2点について懸念を示している。
- このモデルはGDP成長率そのものではなくTFPの方に良くあてはまるが、GDP成長率は（少なくとも最近までは）先進国経済で確かに指数関数的だったように見える。論文のpp.21-22は、教育達成度の改善により20世紀のGDP成長は人工的に一度きりの嵩上げが行われた、と言っているように読めるが、これについてはさらなる検討が必要。
- TFPに実体があるのか、それとも「イノベーション」と「投資」の恣意的な区別に基づく意味の乏しい残差に過ぎないのか、という問題。最近の観測されたTFPの低下は、単にイノベーションが明確な投資に具体化された結果に過ぎないのではないか？ 論文はTFP概念を当然のものと考え過ぎてはいないか？
後者のコーエンの疑問をツイッターで投げ掛けた人に対しPhilipponは、それは長く問題になってきた話だが、資本の質の計測は改善してきた、と返している。
前者のTFP成長が線形なのにGDP成長率はなぜ指数関数的なのか、という疑問については、（コーエンとは別に）上記の解説ツイートに対し投げ掛けた人がいたが、それに別の人が人口成長と資本蓄積が指数関数的なため、と返したところ、Philipponは、一人当たり資本は一人当たりGDPと同様に凸関数ではあるが指数関数ではなく、概ね時間の1.5乗だ、と返している。
