ジェームズ・ハミルトンらが表題のNBER論文を書いているungated版)。原題は「Sign Restrictions, Structural Vector Autoregressions, and Useful Prior Information」で、著者はChristiane Baumeister(カナダ銀行)、James D. Hamilton(UCサンディエゴ)。

This paper makes the following original contributions to the literature. (1) We develop a simpler analytical characterization and numerical algorithm for Bayesian inference in structural vector autoregressions that can be used for models that are overidentified, just-identified, or underidentified. (2) We analyze the asymptotic properties of Bayesian inference and show that in the underidentified case, the asymptotic posterior distribution of contemporaneous coefficients in an n-variable VAR is confined to the set of values that orthogonalize the population variance-covariance matrix of OLS residuals, with the height of the posterior proportional to the height of the prior at any point within that set. For example, in a bivariate VAR for supply and demand identified solely by sign restrictions, if the population correlation between the VAR residuals is positive, then even if one has available an infinite sample of data, any inference about the demand elasticity is coming exclusively from the prior distribution. (3) We provide analytical characterizations of the informative prior distributions for impulse-response functions that are implicit in the traditional sign-restriction approach to VARs, and note, as a special case of result (2), that the influence of these priors does not vanish asymptotically. (4) We illustrate how Bayesian inference with informative priors can be both a strict generalization and an unambiguous improvement over frequentist inference in just-identified models. (5) We propose that researchers need to explicitly acknowledge and defend the role of prior beliefs in influencing structural conclusions and illustrate how this could be done using a simple model of the U.S. labor market.


  1. 我々は、構造ベクトル自己回帰におけるベイズ推定について、より単純な解析的特性の展開と数値アルゴリズムの開発を行った。これは、過剰識別、適度識別、過少識別のモデルに使用できる。
  2. 我々はベイズ推定の漸近的特性を分析し、過少識別の場合は、n変数VARにおける同期(ラグ=0)の係数の漸近的事後分布は、通常回帰の残差の母集団分散共分散行列を直交化させる値の集合に限定されることを示した。その際、集合のいかなる点においても、事後分布の高さは事前分布の高さに比例する。例えば、符号制約によってのみ識別される供給と需要の二変数VARでは、VARの残差同士の母集団相関が正ならば、たとえ無限のデータが利用可能な場合でも、需要弾力性に関するいかなる推計も事前分布だけによって定まる。
  3. 我々は、VARの従来の符号制約手法に含意されているインパルス反応関数の主観的事前分布の解析的特性を明らかにした。また、上記2の特別ケースとして、その事前分布の影響が漸近的に消失しないことを示した。
  4. 我々は、適度識別モデルにおいて、主観的事前分布を用いたベイズ推定が、頻度主義的推定に比べ、厳密に一般化されていると同時に、明らかな改善となっていることを説明する。
  5. 我々は、構造に関する結論に事前の信念が影響することを研究者は明確に認識し、その役割を擁護する必要がある、と論じる。それがどのようにできるかを米国の労働市場の単純なモデルを用いて説明する。

  p(A|YT ) = kTp(A) for all T.


In pioneering papers, Blanchard and Diamond (1990), Faust (1998), Davis and Haltiwanger (1999), Canova and De Nicolo (2002), and Uhlig (2005) proposed that structural inference using vector autoregressions might be based solely on prior beliefs about the signs of the impacts of certain shocks. This approach has since been adopted in hundreds of follow-up studies, and today is one of the most popular tools used by researchers who seek to draw structural conclusions using VARs.
But an assumption about signs is not enough by itself to identify structural parameters. What the procedure actually delivers is a set of possible inferences, each of which is equally consistent with both the observed data and the underlying restrictions.
There is a huge literature that considers econometric inference under set identification using a frequentist approach; see for example the reviews in Manski (2003) and Tamer (2010). However, to our knowledge Moon, Schorfheide and Granziera (2013) is the only effort to apply these methods to sign-restricted VARs, where the number of parameters can be very large and the topology of the identified set quite complex. Instead, the hundreds of researchers who have estimated sign-restricted VARs have virtually all used numerical methods that are essentially Bayesian in character, though often without acknowledging that the methods represent an application of Bayesian principles.
Blanchard and Diamond (1990), Faust (1998), Davis and Haltiwanger (1999), Canova and De Nicolo (2002), and Uhlig (2005) といった先駆的な論文では、ベクトル自己回帰を用いた構造推定は、特定のショックが与えるインパクトの符号条件に関する事前の信念だけに基づいて良い、ということが提唱された。この手法はその後、何百という後続の研究に採用され、今日ではVARを用いて構造に関する結論を導出しようとする研究者が用いる最も一般的なツールの一つとなっている。しかし符号に関する前提は、それ自体では構造パラメータを識別するのには十分ではない。その手続きが実際に提供するのは、あり得る推定の集合であり、その集合の要素はどれも、観測データと課された制約の双方に関し、同じくらい整合的である。
頻度主義的手法を用いて集合識別の計量経済学的な推計を行った研究は数多ある。例えば Manski (2003)やTamer (2010)のレビューを参照されたい。しかし、我々の知る限り、それを符号制約付きVARに適用しようとしたのはMoon, Schorfheide and Granziera (2013)だけである。符号制約付きVARではパラメータ数は非常に大きなものとなり得るほか、識別された集合の幾何構造は極めて複雑なものとなり得る。そのため、符号制約付きVARを推計した何百という研究者の事実上全員が数値解法を用いたが、その解法は本質的にベイズ的である。ただ、研究者たちの多くは、それがベイズ主義の応用になっていることを気付かないまま用いていた。