動学的効率性

今日は以前友人に動学的効率性を解説した資料をアップしてみる。

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yを一人当たりGDP、kを一人当たり資本とし、
y = f(k)
で表されるものとする。
f '(k)>0（資本をより投入すれば生産は増える）
だが、収穫逓減の法則により、f ''(k)<0（下図）

一人当たりGDPは消費と貯蓄に分解される。
y = (1-s)y + sy （sは貯蓄率）
貯蓄はそのまま投資に回り、資本増加につながる
sy = k - k-1 （k-1は前期のk）
定常状態では、この貯蓄は人口増加による一人当たり資本の低下を補うだけとなる。
(sy + k)/(1+n) – k = 0 （nは人口増加率）
⇒ sy = nk
このとき、f '(k)=nとなるkが消費を最大化する。（下図）
f '(k) > nのとき、kを増やせば消費を増やすことができる。＝資本過少（動学的効率的）
f '(k) < nのとき、kを減らせば消費を増やすことができる。＝資本過剰（動学的非効率的）

一般に、f '(k)は資本の収益率＝利子率、nは経済成長率とみなされる。

【なぜf '(k) < nが動学的非効率と呼ばれるのか？】

今、資本蓄積がf '(k’) < nとなるk’で推移している経済を考える
…
各期の消費ct’＝f(k’) - nk’

ここでt=0時点でk’を取り崩してk*に減らし、以後も資本蓄積がk*で推移するものとする。
（ただしk*はf '(k*)=nとなるk）

…
各期の消費は
c0＝f(k*) - nk* + (k’-k*)
ct＝f(k*) - nk* （t≧1）
となり、いずれもct’を上回っている（∵ f(k*) - nk* ＞ f(k’) - nk’）。

すなわち、どの期の消費を減らすことなくすべての期の消費を増やしている。
これは、最初の状態がパレート最適では無かったことを示している。

※パレート最適 … ある期（人）の状態を悪化させずに他の期（人）の状態を改善できない状態

［参考文献］

Advanced Macroeconomics