本日で最終回。今日はナッシュの二人協力ゲーム論文のレジュメ。
なお、今回の「ゲーム理論入門」シリーズの主たる参考文献はこちら。
- 作者: 中山幹夫
- 出版社/メーカー: 有斐閣
- 発売日: 1997/09/01
- メディア: 単行本
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Two-Person Cooperative Games(1953)
INTRODUCTION
- 協力ゲームの理論
協力ゲーム＝完全に対立するわけでも完全に一致するわけでもない利害の調整
- ノイマン＝モルゲンシュテルンの方法の問題点
- Side-payment（利得の譲渡）が可能という前提を取り入れたため、理論の適用範囲が狭まった。（Ex「この商品は自分がもらう代わりにお前に2000円やる」）
- 解が一意に定まらず、解の範囲を提示するだけ。
- ２つの方法で協力2人ゲームの解を導出
- 非協力ゲームに還元
- 公理的方法
THE FORMAL REPRESENTATION OF THE GAME
- 2人が協力すれば実現可能な効用関数の集合（凸集合かつコンパクト）Bが（u1, u2）平面に存在。
- 2人の戦略の組み合わせ（s1, s2）に対応する各人の効用p1（s1, s2）とp2（s1, s2）が集合B上に存在する。
（p1, p2は（s1, s2）の双線形関数と仮定）
THE NEGOTIATION MODEL
交渉のツールとして脅しを取り入れる
THE FORMAL NEGOTIATION MODEL
- 段階１）
- 各人iが脅し戦略tiを選択する
- 段階２）
- 互いに脅し戦略を通知する
- 段階３）
- 互いに独立に（＝コミュニケーション抜きで）、効用の要求水準diを決定する
＝この水準が満たされない限り協力しないという水準 - 段階４）
- 利得の決定
u1≧d1、u2≧d2となる点（u1, u2）がB上に存在すれば、プレイヤーiはdiの利得を得る。それ以外の場合、pi（t1, t2）の利得を得る（＝脅しの実行）。
交渉妥結の利得をdiとしたのは、最終的な解にバイアスが入るのを除くためと、各プレイヤーに可能な限り要求水準を高めるインセンティブを持たせるため。
段階２と段階４はプレイヤーの動作を伴わないので、これは事実上2段階ゲーム。
脅しが実行された場合のB上の点N（p1(t1, t2)、p2(t1, t2)）を（u1N, u2N）と表し、要求水準が妥結可能ならば１、妥結不可能ならば0の値を取る関数ｇ(d1, d2)を導入すると、
プレイヤー１の利得＝d1g ＋ u1N（1-g）
プレイヤー２の利得＝d2g ＋ u2N（1-g）
この時、Bの境界線上の点でNの右上に存在するものが解となる
＝解がユニークにならない
→ 平滑化という方法でユニークな解を求める
＝非連続関数gの代わりに連続関数hを導入
- h(d1, d2)
- B上で１となり、Bを離れると急速に0に近付く
要求水準の妥結可能性を示す
単純化のため、（u1N, u2N）を原点に置く。
d2についてd1hが最大化され、同時にd1についてd2hが最大化される点が均衡解。
＝d1d2hが最大化される点（＝図１〜図３の点Q）
この時、線分NQと、QでBと接する接線Tの傾きはちょうど逆となる（図２）
ここで、QはNの連続関数であり、Nは(t1, t2)の連続関数
→角谷の不動点定理より、最適脅し戦略(t10, t20)が存在
THE AXIOMATIC APPROACH
解が持つべき特性を公理的方法で述べていき、唯一解を導出。
- 公理１）
- ゲーム（S1, S2, B）にはB上の唯一解(v1, v2)が存在。
- 公理２）
- B上の点(u1, u2)が存在し、u1≧v1、u2≧v2ならば(u1, u2)＝(v1, v2)。
- 公理３）
- 効用関数の線形変換によって解は変化しない。
- 公理４）
- どちらのプレイヤーをプレイヤー１としても解は変化しない。
- 公理５）
- IIAの仮定
- 公理６）
- プレイヤー１の戦略の選択幅が狭まった場合に、解がプレイヤー１に有利になることはない；
S1⊃S1'ならばv1(S1', S2, B)≦v1(S1, S2, B)。 - 公理７）
- プレイヤー１の解を有利にすることなしに、両プレイヤーの戦略を１つに絞ることができる；
v1(s1, s2, B)≦v1(S1, S2, B)。プレイヤー２についても同様。
公理１〜５はThe Bargaining Problem(1950)のものと同じ。
公理６、７が本論文で追加した脅し戦略に対応。
