<中心的な流れ(6)>
○裁定価格理論(APT=Arbitrage Pricing Theory)
スティーブン・ロス(Stephen A. Ross “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing”、1976)
前提:
- 無裁定条件(資金0、リスク0ならリターンも0)
- 投資家はAPTの前提のファクターモデルについて同じ期待を持つ
- 市場の完全性
CAPMと異なり以下の前提が不要
不要となる前提:
- 投資家はリスク回避型で期待効用を最大化
- 投資家はリターンの平均、分散をベースにポートフォリオを選択
- 投資家はすべて単一期間の投資を行なう
- リスクフリーレートで貸し借りが制約なく行なえる
→個別資産のリターンを説明する要因として市場ポートフォリオを導入する必要が無い
以下の形のモデルを前提とする。(変数の上の山形は確率変数であることを示す)
但し
or
(行列形式の表現)
即ち、確率変数であるリターンは、期待リターンと、銘柄間に共通なファクターFjおよびそれに係る銘柄ごとの係数bij(Factor Sensitivity)を足しあわせたもの、およびノイズ項から成り立つものとする。ファクターおよびノイズの期待値は0である。
ここで、以下の条件を満たす裁定ポートフォリオ(Arbitrage Portfolio)w =(w1,w2,・・・,wn)’を考える。
w’u =0 u =(1,1,・・・,1)’
w’B = 0 B=(bij) i=1〜n、j=1〜m
1番目の条件は、投入資金がゼロであることを示す。
2番目の条件は、ファクターリターンがゼロであることを示す。上記のAPTモデルでは、リターンの不確実性は確率変数であるファクターとノイズから生じているが、ノイズについては充分な数の銘柄をポートフォリオに組み入れれば、分散化されて無視できるものとする(cf.シングルファクターモデル、アンシステマティックリスク)。すると、ファクターに対するエクスポージャーを無くしたことにより、このポートフォリオにはリスクが存在しない。ゆえに、前提の無裁定条件より
w’r = 0
また、この時w’r = w’e であるから
w’e = 0
あるいは、
Aw = 0 但しA = ( u B e )’
これでw がtrivialでない解を持つためには
e = λ0u + Bλ
or
この式がAPTモデルの帰結である。
ただ、APTモデルではCAPMと異なりファクターを特定していない(APTの弱点!?)。