資産価格の理論：私的概論／（３）シングルインデックスモデル

＜中心的な流れ（３）＞

○シングルインデックスモデル（Single Index Model）

　ウイリアム・シャープ［William Sharpe “A Simplified Model for Portfolio Analysis (1963)”］

　マーコビッツの方法では、最適ポートフォリオを求めるのにユニバースの分散共分散行列を計算する必要がある。→２次計画法

　個別銘柄のリターンは、市場インデックスのリターンに比例する部分と、それ以外の部分から成り立つ。その比例係数をベータと呼ぶ。
　　r_i=α_i+β_ir_m +ε_i
　　VAR (r_i)=β_i²×VAR (r_m)+ VAR (ε_i)
　　　　　β_i=COV(r_i ，r_m)／VAR(r_m)
ε_iは銘柄固有の要因であるので、銘柄間で独立であると仮定する。すると、ポートフォリオのリスクは
　　VAR (Σw_ir_i)=［Σ(w_iβ_i)²］×VAR (r_m) + Σw_i²VAR (ε_i)

右辺第１項をシステマティックリスク（systematic risk）、第2項をアンシステマティックリスク（unsystematic risk）と呼ぶ。

アンシステマティックリスクは、ポートフォリオの組み入れ銘柄を増やすとゼロに近づけることができる。すると
　　σ_p＝STD (Σw_ir_i)＝SQRT (VAR (Σw_ir_i))＝β_pσ_m
　　　　ただしβ_p＝Σw_iβ_i 、σ_m＝STD (r_m)
となり、最適化問題は線形問題に簡単化される。