対象を最適化したロックダウンを伴う複数リスクSIRモデル

既にツイッター上などで話題になっているが、アセモグルら4人のMITの研究者が表題のNBER論文を上げている。原題は「A Multi-Risk SIR Model with Optimally Targeted Lockdown」で、著者はDaron Acemoglu、Victor Chernozhukov、Iván Werning、Michael D. Whinston(いずれもMIT)。タイラー・コーエンは「オールスター経済学者がCovid-19論文を書いた(all-star economists write Covid-19 paper)」と評し、「我々は遂に歩みを先に進めたと改めて言えるかと思う(Again, I would say we are finally making progress)」という感想を漏らしている*1
コーエンは著者の一人のIván Werningのツイッターでの解説スレッドにリンクしている。そこでWerningは、推計値に差があるにせよ高齢者ほど重症化しやすいことについては合意が取れている、と指摘した上で、研究の概略を次のように説明している。

We take a standard SIR epidemic model and add multiple risk groups (MR-SIR for short). The typical SIR model you may see out there has just one group, but epidemiologists have such extensions.
What we add to this: we studying optimal lockdown policy in this framework.
In particular, we study policies that target different risk groups differently.
Our point: finer policy lever can help you save lives AND lower economic losses.
This diagram illustrates that
Important disclaimer: even within the model there is a lot of uncertainty on parameters (we consider a range around a baseline). But it is a crucial weakness of any study of this kind.
However, we think the greater point that there are gains to targeted policies is robust.
Our MR-SIR model looks like this. Groups interact, and get sick, but have different mortality.
(拙訳)
我々は標準的なSIR感染モデルに複数のリスクグループを加えた(略してMR-SIR)。世上見られる通常のSIRモデルには一つのグループしかないが、疫学者はそうした拡張を行っている。
我々の付加価値は、この枠組みで最適なロックダウン政策を研究したことにある。
具体的には、異なるリスクグループを異なるやり方で扱う政策を研究した。
要点:政策の実行を緻密化すれば、命を救うと共に経済的損失を減らせる。
以下のダイアグラムがそれを示している
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重要な注意書き:このモデル内でもパラメータには大きな不確実性がある(我々はベースライン周りのレンジを考慮している)。しかしそれはこの種の研究には付き物の重要な弱点である。
しかしながら、対象を絞った政策には利得がある、というのは頑健な結果で、それは上記の弱点よりも重要な点だと我々は考えている。
我々のMR-SIRモデルはこのような感じになっている。グループは相互に交流し、感染するが、死亡率は異なる。
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実際に計測したダイアグラムについてWerningは以下のように説明している。

After parameterizing the model the best we could (comments welcome) we put this model through our Optimal Control of lockdown policies, both over time and across groups.
This is what we get for the frontier.
I like to emphasize the frontier rather than a particular point or policy.
Picking a point on the frontier requires picking a very tricky and controversial parameter: the Value of a Statistical Life (VSL). Different points on this frontier correspond to different VSL.
Some believe setting a VSL has ethical problems, but it is also just notoriously difficult to agree on this parameter!
How can you use our frontier or others like it then?
Say current policy, determined somehow by society or politics, is putting us on some point of the upper frontier. Then you can offer alternatives on the lower frontier that are better, saving more lives and reducing economic activity.
We find is that the most important distinction is separating the elderly (O for old) from the young (Y) and middle (M) aged. According to our parameters, targeting Y and M separately has marginal gains only.
Semi-targeting is almost as good as full targeting.
Just as an example, here is a point on the frontier and its policies. Comparing non-targeted with semi-targeted.
Note: we assume lockdowns are imperfect, only 75% effective, an important parameter in our model, also that mortality rises with hospital use. We can also feed in different private social distancing efforts, we are looking for evidence on how these translate into beta.
(拙訳)
モデルのパラメータを決定した後、我々ができる最善のことは(この点についてのコメント歓迎)、このモデルを、ロックダウンの最適コントロールに当てはめることだった。当てはめは時系列とグループ間の両方について行った。
その結果、フロンティア曲線として以下が得られた。
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特定の点ないし政策よりは、フロンティア曲線に力点を置きたいと私は思う。
フロンティア上のある点を選択するためは、統計的生命価値(VSL)という非常に厄介で議論の的となるパラメータを選択する必要がある。フロンティア上の異なる点は異なるVSLに対応する。
VSLを設定することには倫理的な問題があると考える人がいる。また、このパラメータについて合意するのは難しいことで悪名高い。
では、我々のフロンティアや、似たようなの他のフロンティアはどのように使えば良いのだろうか?
例えば社会もしくは政治によって決められた現行の政策が、上側のフロンティアのどこかの点に我々を位置付けているものとしよう。その場合、下側のフロンティアのより良い別の選択肢を提示できる。そこではより多くの命を救い、かつ経済的損失を減らせる*2
高齢者(oldの頭文字を取ってO)を若年者(Y)と中年(M)から隔離することがもっとも重要な分離であることを我々は見い出した。我々のパラメータによれば、YとMを個別に対象とする政策には限界的な利得しかない。
高齢者だけを対象とする政策は、各年齢層を個別に対象とする政策と同じくらい効果的なのである。
一例を以下に示す。ここではフロンティア上の点とその政策を示している。対象を区別しない政策と、高齢者だけを対象とした政策を比較している。
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注意:ここではロックダウンが不完全で、75%の効果しかないと仮定している。これも我々のモデルで重要なパラメータである。また、死亡率は病院の利用率と共に上昇すると仮定している。民間の社会的隔離の取り組みの違いもモデルに織り込めるが、それがどのようにベータに反映されるかの実証結果を追究している最中である*3


さらに、検査・追跡・隔離の政策についてもモデルに取り込んでいるとの由。

Next, we add in other policies to the mix.
Test-trace-and-isolate, but also what we call group-social distancing.
Our model includes a parameter for the fraction of infected that get isolated. Testing increases this fraction.
We find this is a very powerful tool, confirming many experts voicing this recommendation.
But targeting lockdown is still very helpful.
Combining targeting with testing should be especially useful in situations with scarce testing resources, which we are currently working on.
That figure is from the online GUI I mentioned earlier, the third tab here https://mr-sir.herokuapp.com/main
(拙訳)
次に我々は、別の政策を政策組み合わせに取り込んだ。
取り込んだのは検査・追跡・隔離の政策である。そのほか、グループ社会的隔離と我々が呼ぶ政策も取り込んだ。
我々のモデルには、感染者のうち隔離される割合というパラメータもある。検査はこの割合を高める。
我々はこの政策が極めて強力であることを見い出した。多くの専門家が推奨することを確認した形だ。
ただ、その場合でも、対象を定めたロックダウンはやはり非常に有用であった。
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対象を定めた政策と検査を組み合わせることは、検査リソースが欠乏している環境では特に有用である。これについては我々は現在研究中である。
上記の図は前述*4のオンラインGUI https://mr-sir.herokuapp.com/main の3つ目のタブからのものである。


彼らが着目したグループごとの隔離政策については以下のように書いている。

We also look at Group Distancing. People interact more with their own age groups and infections are predominantly from within age groups. As in this figure from here https://www.rivm.nl/en/novel-coronavirus-covid-19/children-and-covid-19
Policies to discourage against avoidable contacts across groups increase Group Distancing and we show this is very valuable.
Indeed, combined with testing, in our model it is a silver bullet of sorts. Again, a figure from the 3rd tab of the GUI:
Disclaimer again: we realize there is a huge distance to go from these ideas to actual policy. Many issues to consider. Not only parameter uncertainty as mentioned earlier, but features missing in our model.
To name one: if we attempt to isolate to old, how do we care for them?
Those are absolutely crucial questions and we plan to think about them more, with help from others. Again, comments and suggestions are very welcome.
If anyone has good reasons to run our model with other parameters, we'd be happy to. We also plan to put everything online soon.
To close, I wanted to advertise others' great work out there on this important topic. I've never been so impressed by our profession, the response to this crisis. Putting our heads together is powerful!
(拙訳)
我々はグループ隔離についても調べた。人々は自分の年齢層のグループ内で交流することが多く、感染は主に年齢層グループ内で起きる。それは https://www.rivm.nl/en/novel-coronavirus-covid-19/children-and-covid-19 のこの図で示される通りである。
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グループ間の避けられる接触を抑止する政策は、グループ隔離を促進する。我々はこの政策が非常に有益であることを示した。
実際、検査と組み合わせれば、我々のモデルではそれは一種の銀の弾丸となる。GUIの3つ目のタブからまた図を持ってくると以下の通り。
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注意点を再び:以上のアイディアと、それを実際の政策に結び付けることの間には大きな隔たりがあることを我々は認識している。検討すべき多くの問題がある。前述したパラメータの不確実性のみならず、我々のモデルで欠落している条件についても考えなくてはならない。
一例を挙げると、高齢者を隔離しようとした場合、誰が面倒を見るのか?
それらは間違いなく重要な問題で、我々は、ほかの人の助けを借りつつ、それについてもっと考えたいと思っている。繰り返しになるが、コメントや提案は大いに歓迎する。
我々のモデルを別のパラメータで走らせた方が良い、という然るべき理由があれば、喜んでそうする。間もなくすべてをオンラインに上げるつもりだ。
最後に、この重要なトピックについて出されたほかの人たちの素晴らしい仕事を宣伝しておきたい。自分の業界、この危機への反応についてこれほど感銘を受けたことはない。我々の頭脳を結集すれば力強い結果がもたらされるのだ!

この後Werningは、参照した他の研究を幾つか挙げている。

*1:cf. ここでリンクしたエントリでも同様の感想を述べている。

*2:ここでは「reducing economic activity」を「reducing economic loss」の誤記と解釈した。

*3:βは論文中で実効接触係数(effective-contact coefficients)と定義されている。

*4:上記の引用前のツイートで、
「An online tool to visualize and experiment with possible responses to the epidemic within our model.
https://mr-sir.herokuapp.com/main
(Big shoutout to MIT's Rebekah Dix who created this!)」
と書いている。