Dave Gilesが表題のエントリ（原題は「The H-P Filter and Unit Roots」）で、以下のように記している。
There's a widespread belief that application of the H-P filter will not only isolate the deterministic trend in a series, but it will also remove stochastic trends - i.e., unit roots. For instance, you'll often hear that if the H-P filter is applied to quarterly data, the filtered series will be stationary, even if the original series is integrated of order up to 4.
Is this really the case?
（拙訳）
HPフィルタの適用は、系列の非確率的なトレンドを分離するだけではなく、確率的なトレンド、即ち単位根を除去すると広く信じられている。例えば、四半期データにHPフィルタを適用すると、たとえ元の系列が4次の和分過程であったとしても、フィルタ後の系列は定常的になる、という話を良く聞く。
それは本当だろうか？
この問いへの回答としてGilesは、以下の3本の論文を提示している。
King, R. G. and S. T. Rebelo, 1993. Low-frequency filtering and real business cycles. Journal of Economic Dynamics and Control, 17, 207-231.
要旨：
This paper discusses in detail the Hodrick-Prescott (1980) filter from time and frequency domain perspectives, motivating it as a generalization of the exponential smoothing filter. We show that the HP filter — when applied to large samples — contains a centered fourth difference and hence renders stationary time series that are ‘difference-stationary’ and, indeed, integrated of higher order.
However, our application of the HP filter to U.S. time series and to the simulated outcomes of real business cycle models leads us to question its widespread use as a unique method of trend elimination. We provide examples of how HP filtering dramatically alters measures of persistence, variability, and comovement.
（拙訳）
本稿は、時間および周波数領域の観点から、ホドリック＝プレスコット（1980）フィルタについて詳細に論じる。この議論は、同フィルタを指数平滑フィルタとして一般化することを狙いとしている。我々は、HPフィルタが大きなサンプルに適用される時には4次の中央差分を伴うため、「差分定常的」で、実際にはより高次の和分過程である定常時系列をもたらすことを示す。
しかし、米国の時系列データおよびリアルビジネスモデルのシミュレーション結果にHPフィルタを適用したところ、トレンドを除去する独自の手法として広く使われている現状に疑問を投げ掛ける結果になった。我々は、HPフィルタがいかに持続性、変動性、および共変動の尺度を大きく変えるかについて例を示す。
Cogley, T. and J. M. Nason, 1995. Effects of the Hodrick-Prescott filter on trend and difference stationary time series: Implications for business cycle research. Journal of Economic Dynamics and Control, 19, 253-278.
要旨：
When applied to persistent time series, the Hodrick-Prescott filter can generate business cycle dynamics even if none are present in the original data. Hence the presence of business cycles in HP filtered data does not imply that there are business cycles in the original data. For example, we show that standard real business cycle models do not generate business cycle dynamics in pre-filtered data and that the business cycles observed in HP filtered data are due to the filter. As another example, we show that under plausible assumptions HP stylized facts are determined primarily by the filter and reveal little about the dynamics of the underlying data.
（拙訳）
持続的な*1時系列データに適用した場合、ホドリック＝プレスコット・フィルタは、元の系列に景気循環的な動きが一切存在しない場合でも、そうした動きを生成し得る。従って、HPフィルタを掛けた後のデータに景気循環が存在することは、元のデータに景気循環があることを意味しない。例として我々は、標準的なリアルビジネスサイクルモデルがフィルタリング前のデータでは景気循環的な動きを生み出さないのに、HPフィルタを掛けた後のデータではフィルタリングのせいで景気循環が観測されることを示す。もう一つの例として、もっともな仮定下でのHPの定式化された事実は、主にフィルタによって決定されており、対象データの動きについて明らかにすることはあまりない、ということを示す。
Phillips, P. C. B. and S. Jin, 2015. Business cycles, trend elimination, and the HP filter. Cowles Discussion Paper No. 2005, Yale University.
要旨*2：
We analyze trend elimination methods and business cycle estimation by data filtering of the type introduced by Whittaker (1923) and popularized in economics in a particular form by Hodrick and Prescott (1980/1997; HP). A limit theory is developed for the HP filter for various classes of stochastic trend, trend break, and trend stationary data. Properties of the filtered series are shown to depend closely on the choice of the smoothing parameter (λ). For instance, when λ = O(n4) where n is the sample size, and the HP filter is applied to an I(1) process, the filter does not remove the stochastic trend in the limit as n → ∞. Instead, the filter produces a smoothed Gaussian limit process that is differentiable to the 4'th order. The residual 'cyclical' process has the random wandering non-differentiable characteristics of Brownian motion, thereby explaining the frequently observed 'spurious cycle' effect of the HP filter. On the other hand, when λ = o(n), the filter reproduces the limit Brownian motion and eliminates the stochastic trend giving a zero 'cyclical' process. Simulations reveal that the λ = O(n4) limit theory provides a good approximation to the actual HP filter for sample sizes common in practical work. When it is used as a trend removal device, the HP filter therefore typically fails to eliminate stochastic trends, contrary to what is now standard belief in applied macroeconomics. The findings are related to recent public debates about the long run effects of the global financial crisis.
（拙訳）
我々は、Whittaker*3（1923*4）が導入し、特にホドリックとプレスコット（1980/1997；HP）形式として経済学で一般化されたタイプのデータフィルタリングによるトレンド除去手法や景気循環推計について分析する。ここでは、様々な種類の確率的トレンド、断絶のあるトレンド、およびトレンド定常性を持つデータのHPフィルタについて極限定理を開発した。フィルタを掛けた後の系列の特性は平滑化パラメータ（λ）の選択に大きく依拠することが示される。例えばnをサンプルサイズとしてλ＝O(n4)のHPフィルタがI(1)過程に適用された場合、n→∞の極限においてフィルタは確率的トレンドを除去しない。その代わりにフィルタは、4次まで微分可能な平滑化された正規分布の極限過程を生み出す。残差の「循環」過程は、ランダムな動きを示す微分不可能なブラウン運動の特性を有しており、それによってしばしば観測されるHPフィルタの「偽の循環」効果が説明される。一方、λ＝O(n)の場合は、フィルタは極限のブラウン運動を再現し、「循環」過程はゼロとなって確率的トレンドは除去される。シミュレーションによって、λ＝O(n4)の極限定理は、実際に良く使われるサンプルサイズについてのHPフィルタの良い近似になっていることが示される。従って、トレンド除去ツールとして使われる時、HPフィルタは確率的トレンドの除去に失敗するのが普通であることになる。これは、応用マクロ経済学で今や標準的な考えになっていることとは逆である。この発見は、世界金融危機の長期的な影響に関する最近の公開討論に関連している。
以下はPhillips＝Jin論文の図8。
（図の原注）Random walk with a location shift at r0 = 0.5, shown against the HP filtered series and HP limit approximations (μ = 16×10-6 and μ = 10-10).
元データはサンプル数n＝100の断絶のあるブラウン運動だが、この図の結果について本文では以下のように記述されている。
As is apparent, the limiting HP filter approximation with μ = 0.000016 (so that λ = μn4 = 1600) provides a very close approximation the actual HP filter with the usual setting λ = 1600, whereas when μ = 10-10 (or λ = μn4 = 0.1) the limiting HP approximation follows the fine grain course of the data in much greater detail, including the sharp level shift at the midpoint (r0 = 0.5)
（拙訳）
図で明らかなように、μ＝0.000016（従ってλ＝μn4＝1600）での極限HPフィルタ近似は、通常のλ＝1600という設定の実際のHPフィルタについての極めて近い近似になっている。一方、μ＝10-10（即ちλ＝μn4＝0.1*5）の時の極限HPフィルタ近似は、中央（r0＝0.5）の急激なレベルシフトを含め、データの細かな経路をかなり精確に辿っている。
同論文についてGilesは以下のように書いている。
One implication is that when the H-P filter is used to remove deterministic trends, it doesn't remove stochastic trends (unit roots)! This runs contrary to the accepted wisdom, and provides a formal, mathematical, explanation for the folklore (and the evidence provided by Cogley and Nason) that the H-P filter can generate "spurious cycles" in the filtered data.
（拙訳）
このことの一つの含意は、非確率的なトレンドを除去するためのHPフィルタを用いる場合、確率的なトレンド（単位根）は除去されない、ということだ！ これは一般に受け入れられた知識に反することであり、HPフィルタがフィルタ後のデータにおいて「偽の循環」を生み出し得る、という都市伝説（およびCogley＝Nasonが提示した実証結果）に正式の数学的な説明を与えるものである。
