ハイパーインフレーションモデルについての補足・その３

　　 $\pi = g_M + A exp(\frac{t}{b})$

という式について、追記（脚注1）で

幸か不幸か齊藤誠氏が「先今」で展開して黒木玄氏の批判を浴びたハイパーインフレモデルの簡略版になっている

と書いたが、一応その辺りを数学的に補足しておく。

齊藤氏の(13)式は、
　　 $p_t=\sum_{\tau=0}^\infty[-\gamma(\frac{1}{1-\gamma})^{\tau+1}m_{t+\tau}]+(1-\gamma)^th_0$
である。よって、
　　 $p_{t+1}-p_t=\sum_{\tau=0}^\infty[-\gamma(\frac{1}{1-\gamma})^{\tau+1}(m_{t+1+\tau}-m_{t+\tau})]-\gamma(1-\gamma)^th_0$
齊藤氏の記法ではp、mはそれぞれ価格、名目貨幣残高の対数値なので（＝mについてはこれまでの実質貨幣残高という意味ではないことに注意）、その差分は各変数の伸び率となる。すなわち、pの差分はインフレ率πであり、名目貨幣残高の差分はg_Mである。ここで3/17エントリと同様にg_M一定を仮定すると、
　　 $\begin{eqnarray} \pi &=& g_M\sum_{\tau=0}^\infty[-\gamma(\frac{1}{1-\gamma})^{\tau+1}]-\gamma(1-\gamma)^th_0 \\ &=& g_M -\gamma(1-\gamma)^th_0\end{eqnarray}$
（［］内の合計が1になる点は黒木氏レジュメを参照）

右辺第二項を連続時間ベースに変換すると
　　 $\begin{eqnarray} \pi &=& g_M -\gamma(\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\gamma}{n})^n)^th_0 \\ \\ \\ \\ &=& g_M-{\gamma}h_0\exp(-\gamma{t})\end{eqnarray}$

ここでγは、齊藤氏の(10)式
　　 $m_t-p_t = \theta y_t +\frac{1}{\gamma}i_t$
を満たす係数である（ただしi_tは名目金利で $i_t=r_t+p_{t+1}^e-p_t$ ［フィッシャー方程式＝齊藤氏の(11)式］を満たす）。
従って、γは3/17エントリの-1/bに相当する。