マンキューモデルと流動性の罠

池田信夫氏がこのところ頻りにマンキューの教科書を引き合いに出してリフレ派を批判している（ここ、ここ、ここ、ここ）。池田氏は特に、同教科書の14章に記述された動学的モデルに良く言及しているが、同氏のエントリやマンキューブログの昨年4/6エントリで紹介されているように、その14章（のゲラ）はネットで読むことができる。

それによると、当該モデルは、以下の5つの式から成っている。

財・サービスの需要

Y_t = Y^*_t − α(r_t − ρ) + ε_t

フィッシャー式

r_t = i_t − E_tπ_t+1

フィリップス曲線

π_t = E_t-1π_t + φ(Y_t − Y^*_t) + u_t

適応的期待

E_t-1π_t = π_t-1

金融政策のルール

i_t = π_t + ρ + θ_π(π_t – π^*_t) + θ_Y(Y_t − Y^*_t)

各変数の意味は次の通り。

• 内生変数
  • Y_t　産出
  • π_t　インフレ率
  • r_t　実質金利
  • i_t　名目金利
  • E_tπ_t+1　期待インフレ率
• 外生変数
  • Y^*_t　自然産出水準
  • π^*_t　中央銀行の目標インフレ率
  • ε_t　財・サービスの需要へのショック
  • u_t　フィリップス曲線へのショック（供給ショック）
• 先決変数
  • π_t-1　前期のインフレ率
• パラメータ
  • α　財・サービスの需要の実質金利に対する反応度
  • ρ　自然利子率
  • φ　フィリップス曲線におけるインフレの産出に対する反応度
  • θ_π　金融政策のルールにおける名目金利のインフレに対する反応度
  • θ_Y　金融政策のルールにおける名目金利の産出に対する反応度

マンキューは、フィリップス曲線と適応的期待から動学的総供給（DAS）曲線を、フィリップス曲線以外の4式から動学的総需要（DAD）曲線を導いている*1。ただ、その際、名目金利がゼロ下限に到達することは想定しておらず、金融政策は常にルール通りに実施されるものとしている。従って、この章でマンキューが展開している議論に基づいて、流動性の罠の下でのリフレ派の政策提案を批判するのは、実はあまり意味をなさないように思われる。

では、このモデルに流動性の罠を持ち込むとどのようになるだろうか？　以下ではそれを確認してみよう。

今、上記の金融政策のルールから導かれる名目金利がマイナスになったものとする。即ち

　π_t + ρ + θ_π(π_t – π^*_t) + θ_Y(Y_t − Y^*_t)　<　0　　　　・・・（１）

とする。
この時、名目金利は0にする以外にない。すると、フィッシャー式は
　r_t = − E_tπ_t+1
となる。これに適応的期待を当てはめると、
　r_t = − π_t
となるが、これを財・サービスの需要の式に代入すると、
　Y_t = Y^*_t + α(π_t + ρ) + ε_t　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２）
となる。次いでこれを（１）式に代入すると、
　π_t + ρ + θ_π(π_t – π^*_t) + θ_Y(α(π_t + ρ) + ε_t)　<　0
となるが、この不等式をπ_tについて解くと、
　π_t <　{ θ_ππ^*_t - (1+θ_Yα)ρ - θ_Yε_t }　／ { 1+θ_π+θ_Yα }
となる。
この不等式においては、

1. インフレ目標率π^*_tが高いほど
2. 自然利子率ρが低い（もしくはマイナス方向に大きい）ほど
3. 需要ショックε_tが小さい（もしくはマイナス方向に大きい）ほど

右辺は大きくなり、ちょっとしたインフレ率の低下で簡単に流動性の罠に陥る傾向が強まる。
ただ、この3つの条件のうち、2.と3.は直観的にも納得しやすいが、1.のインフレ目標が高いほど流動性の罠から抜けにくくなるというのは直観に反する。これについては、流動性の罠に陥った状況ではもはやインフレ目標は意味を持たない、と考えるのが適当であろう。そうすると、この場合はθ_πをゼロと置くのが適当と思われる。すると、上の不等式は
　π_t <　-ρ　-　(θ_Yε_t)/(1+θ_Yα)
あるいは
　π_t +　ρ　+　(θ_Yε_t)/(1+θ_Yα)　<　0
となる。

つまり、マンキューモデルにおいて流動性の罠に陥った場合は、インフレ率π_t、自然利子率ρ、需要ショック(θ_Yε_t)/(1+θ_Yα)のいずれか、もしくはそのうちの2つ、もしくはすべてを底上げして、合計を正の領域に持っていくことが脱出法、ということになる。単純な図式的な言い方をすれば、この3項のうち、インフレ率に焦点を当てるのがリフレ派、自然利子率に焦点を当てるのが構造改革派、需要ショックに焦点を当てるのが財政派、ということになるだろう。

なお、（２）式で注意すべきは、インフレ率−産出平面において、総需要曲線が右上がりになっている点である。マンキューの14章のFigure14-13では、右上がりの総需要曲線と右上がりの総供給曲線が交わったところに正の需要ショックが加わった結果、インフレスパイラルがもたらされる様子が描かれている。今の場合は逆に、右上がりの総需要曲線によりデフレスパイラルがもたらされることになるわけだ。
そのことを具体的に式で表すと次のようになる。
フィリップス曲線に適応的期待を当てはめた総供給曲線は
　π_t = π_t-1 + φ(Y_t − Y^*_t) + u_t
であるが、これに（２）式を代入すると
　π_t = π_t-1 + φ(α(π_t + ρ) + ε_t) + u_t
から
　π_t = { π_t-1 + φαρ + φε_t + u_t }　／　{ 1-φα }
となる。ここでφとαの具体的な値が問題になるが、マンキューはα＝1、φ＝0.25という例を示している。その値を用いると、π_t-1の係数は4/3となり、デフレスパイラルが発生することになる。
ちなみにこの時の産出は
　Y_t = Y^*_t　+　{ α(π_t-1 + ρ) + ε_t + αu_t }／{ 1-φα }

となるので、デフレスパイラルが発生すればやはり時を追って減少していくことになる。

*1:cf. 以前紹介したRoweモデルも同様。