ゼロ和２人ゲームとミニ・マックス定理
- ゼロ和2人ゲーム
- 2人のプレイヤーが互いに勝ち負けを争うゲーム
→ フォン・ノイマンによる回答（1928年）＝ミニ・マックス定理
- ミニ・マックス戦略＝最大損失を最小化する戦略
- マックス・ミニ戦略＝最小利得を最大化する戦略
両者の戦略は同じ結果をもたらす
例） じゃんけん
G = グー、T = チョキ、P = パー と表記すると
必ずP（orG orT）を出す戦略 ＝ 純粋戦略
ある確率pでGを出し、確率qでTを、確率rでPを出す戦略 ＝ 混合戦略
（この混合戦略を（p, q, r）と表記する）
＜プレイヤー１が純粋戦略、プレイヤー２が混合戦略を取った場合＞
プレイヤー２の混合戦略を（p, q, r）とすると、プレイヤー１の利得表は以下の通り。
| プレイヤ ー２ |
（＝混合 | 戦略 ） | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率p | 確率q | 確率r | ||||
| G | T | P | プレイヤー１利得 | |||
| プレイヤー１ | G | ０ | １ | −１ | q-r | |
| （＝純粋戦略) | T | −１ | ０ | １ | -p+r | |
| P | １ | −１ | ０ | p-q |
＜プレイヤー１が（1/3, 1/3, 1/3）という混合戦略を取った場合＞
プレイヤー１の利得は常に（＝プレイヤー２の戦略に関わらず）ゼロ。
（ ∵ 1/3(q-r) + 1/3(-p+r) + 1/3(p-q) = 0 ）
＜プレイヤー１が（1/3, 1/3, 1/3）以外の混合戦略を取った場合＞
プレイヤー１が（p’, q’, r’）≠（1/3, 1/3, 1/3）という混合戦略を取れば、p’, q’, r’のいずれかは必ず1/3より大きくなる。今、p’が3つの確率の中で最大とすると、プレイヤー２は（0,0,1）という純粋戦略を取ればp’-q’≧0の利得を得ることができる。これはそのままプレイヤー１の損失となる。 → プレイヤー１の損失 ＝ -p’+q’≦0
この時、プレイヤー１は（1/3, 1/3, 1/3）を取った場合の利得（＝ゼロ）を確保することができない。従って、プレイヤー１が最小利得を最大化するマックス・ミニ戦略は混合戦略（1/3, 1/3, 1/3）。
同時に、この損失は、プレイヤー１が（1/3, 1/3, 1/3）を取った場合の損失（＝ゼロ）を下回る。従って、プレイヤー１が最大損失を最小化するミニ・マックス戦略もやはり混合戦略（1/3, 1/3, 1/3）。
上記の話ではプレイヤー１とプレイヤー２は対称的なので、プレイヤー２についても同様の結果が成り立つ。
